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大学受験対策~数学編(x²に定数aがついている2次関数と2次方程式の問題点)~

平成26年3月15日(土)


x²に不定の定数が付いている場合の処理と特有の問題を考えてみます。
場合分けを忘れちゃいがちなあの問題ですよね…。


 

解き方

例;y=ax²+(2a-1)x-3a+1

まず、x²に不定の定数が付いているものは必ず、x²の係数が「0」の場合と「0でない」場合に場合分けしてください。
なぜなら、x²の係数が「0」の場合は、この関数は1次関数になるからです。例の関数は、
y=-2x+3となります。

ですから、
a=0の時 y=-x+1
a≠0の時 2次関数y=ax²+(2a-1)x-3a+1 
となります。
よって、a=0の時は直線のグラフ、a≠0の時は放物線のグラフになります。

また、x²に不定の定数が付いている場合、x²の係数の値に関わらず、必ず定点を通ります。

例の関数では、aについて整理し直すと、(x²+2x-3)a+(-x-y)=0となります。
Aの値に関わらずこの等式が成り立つのは、x²+2x-3=0かつ-x-y=0となるので、
x=-3、y=3または、x=1、y=-1となります。
よって、例)の関数はaの値に関わらず、(-3、3)、(1、-1)を通ります。

次に、0=ax²+(2a-1)x-3a+1を考えます。
ここで、0=ax²+(2a-1)x-3a+1とy=ax²+(2a-1)x-3a+1の違いは分かりますよね?

まぁ、yの値が0になったものが前者ですが、前者は方程式で後者は関数ですし、前者は後者のグラフにおいてx軸上の交点の座標等の話になります。

これも、a=0の時とa≠0の時で場合分けします。なぜなら、a=0の時は1次方程式になるからです。
ですから、a=0の時、0=-x+1となり、x=1となります。
また、a≠0の時、解の公式を利用して、

x=-2a+1±√(2a-1)2+4a(3a-1)/2aとなります。

下線部はすべて√の中になります。

x²に不定の定数が付いている場合の考え方、処理のまとめ

①必ず、x²の係数が「0」の場合と「0でない」場合に場合分け。
②関数であれば、定点の処理を忘れない。

高校の数学、特にセンター試験は「場合分け」が頻出です。
なぜ「場合分け」するのかまで理解して学習することが大事ですよ。

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